精选的伯努利定律： 伯努利证明大数定律

廉作林 刻

生活中会出现这样一种现象：在相同条件下重复某一事件，其结果不能完全肯定。比如抛一枚质地均匀的硬币，结果是正面朝上还是反面朝上是不可知的。这样一种现象叫做随机现象。尽管随机现象的结果不确定，但是我们通过大量的重复性试验发现，随机现象呈现某种规律性。例如统计抛硬币的结果，我们会发现随着抛硬币的次数增多，出现正面的次数与出现反面的次数比值稳定在1︰1附近。又如扔很多枚质地均匀的骰子，数字1朝上的个数占总个数的1/6左右。

由此我们可以猜想：一定存在某个可以衡量随机事件发生可能性大小的数量指标。在数学中，我们把这个指标叫做概率，一般记做P。

在数学发展的早期，人们针对各种问题，提出了很多种概率的定义和计算方法。比如古典概率的计算方法：P（A）=k（事件A所包含的基本事件数）/n（基本事件总数）。

拿掷一枚骰子为例：骰子是质地均匀的，并且掷骰子可能出现的结果有且仅有6种。于是人们认为出现任何一面的可能性为1/6。并且人们发现，大量重复掷骰子出现的结果，与上述说法一致。

但是很多随机事件并不像上面的例子一样简单好计算。于是人们提出了另一种计算概率的方法——用频率计算概率：P（A）=m（事件A出现的次数）/n（试验的总次数）。

但是我们希望概率是一个确定的数，它能够客观地反映随机事件发生的可能性大小。而频率会随着试验次数的不同而不同。那么频率和概率是一种什么关系？大数定律揭示这样一种规律：当试验次数足够多的时候，频率与概率的差别足够小。

历史上第一个证明大数定律的人是伯努利。他在《猜度术》中证明了，在试验场合，随着试验次数的增加，频率与概率的差别足够小的可能性越来越大。后来我们称之为伯努利大数定律。这个大数定律成立的条件非常苛刻，人们后来逐渐放宽了条件，并且加强了结论，提出了一系列大数定律。比如科尔莫戈洛夫强大数定律：在随机变量序列独立的条件下，当试验次数足够多的时候，频率与概率的差别足够小。

大数定律的证明使得“概率”这个抽象的名词有了客观含义。在实际应用中，概率的性质有时难以计算，我们需要利用大数定律做近似计算。我们总是通过有限的试验来推断总体的概率特征。所以有人说，伯努利大数定律才是概率论真正的开端。

（本栏长期征集“日知录”三字篆刻，投稿邮箱：rizhilu999@163.com）