精选的虚数公式： 三角函数恒等式的加工厂，细点虚
关于虚数的历史，上篇文章我们讲到，韦塞尔慧眼识图，首次提出复平面的概念，把虚数领入数学的大舞台，从此，复数成了数学中不可缺少的工具，在这篇文章当中，我们将向你展示虚数的魅力，用虚数来轻松解决实数领域的难题。
当然，我们也少不了其中的历史故事。
首先要提到的是伟大的数学家和哲学家——莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz，1646-1716）。
莱布尼茨
如果你注意了我前一篇文章的各个时间点，你会知道莱布尼茨处在邦贝利（Rafacl Bombelli，1526-1572）用负数的开根号做运算，和韦塞尔（Caspar Wessel，1745-1818）提出虚数的几何意义之间。
莱布尼茨可是一位了不起的数学家，他和牛顿一样独立发明了微积分，至于谁优先至今没有定论，一般我们认为他们两人共同创立了微积分，那么他对虚数是如何看待的呢？
在1673-1675年间，他和他的朋友惠更斯之间的通信，莱布尼茨得到下面一个等式，并对他的朋友惠更斯说道：
莱布尼茨得到的等式
“我想不起曾看到过一件从各方面分析都比这更为神奇和匪夷所思的事了，因为我认为我是把虚假的数，化解成实数的第一人……但我不理解，一个虚假的数或者说不可能的数，表示出来的量，怎么会是实数。”——然而这些疑惑，现在对于一位优秀的高中生来说，都是理所当然的。
如果你知道邦贝利在100多年前就做了同样的事，你会发现莱布尼茨居然“炒起了冷饭”，当然，这里我并不是贬低莱布尼茨，而是说明了莱布尼茨的结交面很窄，甚至可以说，他对当时的数学领域达到何种程度知之甚少，但这并不阻碍他对数学的贡献。
莱布尼茨去世后八十多年，韦塞尔才提出了复平面的概念，可韦塞尔并非职业数学家，那他为何能看穿虚数后面的真相呢？
这或许是他特殊的职业造就的机缘巧合成就了他的发现，韦塞尔是一位测绘人员，每天都要和测量、尺度、坐标（此时笛卡尔提出坐标系已有100多年）打交道，每天和坐标的接触或许启发了他，在我们看来，把虚数作为垂直于实数的另外一轴是理所当然的，但把虚轴立起来，的的确确耗费了数学家200多年，而韦塞尔是当之无愧的第一人。
复数的表示，一共有两种方式：复平面坐标和极坐标。
复数的平面坐标表示
平面坐标换算成极坐标
一旦我们有了极坐标的概念，那么虚数单位的复平面表示方式（0，i）我们还可以表示成：
虚数单位的极坐标表示
这个表示方式实在太重要了，以至于我们用实线围起来，因为这将引出一个非常实用的概念：辐角θ。
因为辐角有个非常好的性质，我们称之为：棣莫弗定理——指两个复数的乘积，等于其模相乘和辐角相加。（用三角函数形式表示为Z1=r1(cosθ+isinθ），Z2=r2(cosφ+isinφ），则：Z1*Z2=r1*r2[cos（θ+φ）+isin（θ+φ）]
这个定理比韦塞尔的发现要早，是法国数学家棣莫弗(1667-1754)最先创立，虽然我们可以由韦塞尔的复平面概念轻松推导出来，但棣莫弗那时候还没有复平面的概念。
这就意味着，我们对高次幂和开方的运算将简便很多，比如：
（0.3+2.6i）^17=（2.61725）^17（83.418度×17）=12687322∠1418.1061度。
如果没有棣莫弗定理，那么对复数的自乘17次，我们需要对0.3+2.6i进行17次相乘，其繁琐程度让人崩溃。
我们还能用这个性质来做什么呢?——这是一个产生三角函数恒等式的超级加工厂！
想必大家还记得，高中时候，数学老师讲解正余弦的复合角公式吧，老师画了一个圆，标注了一堆辅助线和符号，相信大部分人当时是懵逼的。
今天，就让我来给大家看看，最简单的推导办法。
根据辐角原理，对于单位长度的2个复数相乘就有：
恒等式
那么写成三角函数形式就是：
三角函数
只需要把左边按照分配率展开，然后实部与实部相等，虚部与虚部相等，我们立马就得到：
正余弦求和公式
这是这个公式最简单的推导方法，怎么样？比起以前数学老师教的办法是不是快很多。
不止于此，同样的办法我们还可以继续使用：
三倍角公式
两边展开，然后实部与实部相等，虚部与虚部相等，我们立马就会得到正余弦的三倍角公式，屡试不爽，继续下去，四倍角，五倍角公式都不在话下。
其实，你还可以用虚数来做更多事，很多与圆周率有关的级数，我们都能用这个性质轻松推导出来，比如：
我们利用（2+i）（3+i）=5+5i
立马得到：arctan1/2+arctan1/3=π/4
然后左边按照泰勒级数展开，就得到一个关于圆周率的级数，这样的实例多得不得了，在没有虚数之前，推导出这样的级数是不容易的。
从虚数的发展史，我们看到，虚数经历了数学家的排斥，再到发现它的作用，再到理解它，最后发展出复变函数，花了差不多300多年，我们站在无数“巨人”的肩膀上，才得以有了现在的“理所当然”，但其中的艰辛和坎坷，又有多少人知晓！
由于篇幅有限，在我就不举更多例子了，这篇内容是应读者朋友们的需求，写的一篇虚数为基础的科普文，可能涉及一点复数的专业内容，需要一定数学基础才能全部理解，有兴趣的朋友们，还请自行去查阅相关文献，文献中会有更详细的介绍和解释。
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原标题：霸蛮书记李亿龙一审获刑18年 被抓时还耍横反抗
李亿龙资料图
1月15日下午，湖南省娄底市中级人民法院公开宣判湖南省委农村工作领导小组原副组长李亿龙受贿、贪污、滥用职权、巨额财产来源不明案，认定被告人李亿龙犯受贿罪、贪污罪、滥用职权罪、巨额财产来源不明罪，数罪并罚，决定执行有期徒刑18年，剥夺政治权利5年，并处没收个人财产250万元，受贿赃款926万余元、贪污赃款142万余元、来源不明的巨额财产4950万余元依法予以追缴，上缴国库。
四罪成立，犯罪时间长达18年
娄底中院经审理查明：1998年6月至2016年3月，李亿龙任长沙市芙蓉区人民政府区长、芙蓉区委书记、浏阳市委书记、怀化市人民政府市长、怀化市委书记、衡阳市委书记等职务期间，先后多次收受黄某等数十人给予的现金及财物，共计折合人民币926万余元，并利用职务便利为上述人员在承揽工程、职务调整晋升等方面谋取利益。
李亿龙用公款购买名表、眼镜、黄金瓶等贵重物品，占为己有，并采取虚开发票的方式，先后将个人开支在怀化市委办、衡阳市委办报销，贪污公款共计人民币142万余元。
李亿龙接受浙江某公司负责人黄某请托，违背相关规定，安排人员启动对10个污水处理厂进行股权收购，额外支付提前退出补偿款和前期费用补偿款共计2943万余元给该公司，致使国家和人民利益遭受重大损失。
另李亿龙财产、支出明显超过合法收入，尚有折合人民币共计4950万余元的财产不能说明来源。
李亿龙及其辩护人提出：李亿龙接受他人财物的事实不应认定为受贿犯罪；李亿龙没有贪污的主观故意，没有非法占有公共财物，不构成贪污罪；李亿龙在引进和收购某公司污水厂过程中，没有滥用职权的行为，没有致使公共财产和国家利益遭受重大损失；李亿龙的部分财产应计算为合法财产；李亿龙的辩护人还提出，李亿龙在本案立案侦查前及侦查期间如实供述侦查机关尚未掌握的部分犯罪行为，应当认定为余罪自首情节，李亿龙还具有坦白情节，应予以从轻处罚。对李亿龙及其辩护人提出的辩护意见，法院部分予以采纳。
法院认为，李亿龙身为国家工作人员，利用职务便利，为他人谋取利益，非法收受他人财物，数额特别巨大，其行为构成受贿罪。李亿龙还利用职务便利，非法占有公共财物，数额巨大，其行为构成贪污罪。李亿龙不正确行使职权，致使公共财产遭受重大损失，情节特别严重，其行为构成滥用职权罪。李亿龙的家庭财产、支出明显超出其合法收入，差额特别巨大，且不能说明来源，其行为构成巨额财产来源不明罪。据此，依法作出上述判决。
娄底中院于41天前的2017年12月5日开庭审理了该案。
纪委拿人时 遭遇激烈反抗
相信很多人都对这位以“霸蛮”著称的前市委书记印象深刻。据称，被拿下之前，脾气大的李亿龙还激烈反抗过。
2016年4月，交接完工作的李亿龙乘坐高铁从衡阳赴任长沙。他没有想到的是，十多名身着便服的办案人员在出站口静候。车到站后，乘坐同一趟高铁的乘客在出站口突然听到一阵喧哗，目睹了李被控制的过程：“差点打起来，边上有大批警察维持秩序。”
因为激烈反抗，当天身着黑西装、白衬衫，戴金丝边眼镜的李亿龙狼狈不堪，脸上也留下了伤痕。
罪行败露 源于原下属的举报
据湖南日报披露，对李亿龙的查处源于湖南省纪委第七纪检察室对怀化市原副市长李自成的查处。李自成案很快得到了突破。通过李自成案，又挖出了怀化市政协原副大大黄泽春和怀化市委原书记李亿龙的问题线索。
李自成、李文楚受贿案的二审判决书中显示，李自成曾提出上诉，理由之一是自己检举了怀化市原政协副大大黄泽春和衡阳市原市委书记李亿龙的犯罪事实，应认定为重大立功。请求依法改判。
法院随后认定，李自成在接受调查期间，检举了怀化市原政协副大大黄泽春违纪违法的事实，经查证属实；检举了衡阳市原市委书记李亿龙的违纪线索，对侦破李亿龙案起了重要作用。
作为证据之一，湖南省纪委第七纪检察室证明：李自成主动交待了其向李亿龙行贿1500克黄金、李亿龙向其回赠价值约50万元港币的劳力士手表一对的违纪事实。
李自成还检举了怀化市原政协副大大黄泽春向李亿龙行贿的事实。黄泽春在担任怀化市沅陵县县委书记期间，安排他人用45.25万公款购得2000克黄金，之后送给时任怀化市委书记李亿龙。黄泽春在庭审时辩称，自己这一行为是代表单位履行公务，称此举是为了争取中央4个亿的投资项目。
李亿龙曾在怀化任职7年，先后担任市长和市委书记。李自成则一直在怀化工作，是李亿龙长期的下属。
在自己任内，李亿龙力推城市建设和开发，很多大项目在很短的时间即上马、完工，以擅长“造城”闻名。尤其在主政怀化期间，李亿龙提出“一年一个样，三年大变样”的口号，当地一度掀起城建大攻坚行动。而后来出任怀化副市长的李自成，分管的正是住房和城建等工作。两人都被指在工程项目建设方面为他人谋取利益。
独断专行 曾扬言“解散组织部”
2013年3月，轰动全国的“衡阳贿选案”后，57岁的李亿龙在怀化市委书记位置上调任衡阳，接替衡阳原市委书记童名谦，一度被媒体解读为“湖南省委对其寄予厚望”，并被誉为“救火队长”。
对于贿选案，李亿龙处分了一大批衡阳干部，又提拔了一大批顺从他的干部，“没有人敢不听李亿龙的”。知情人士介绍，李亿龙在人事安排上独断专行，经常在随意安排官员时对组织部官员说：要是符合组织程序，还要你组织部干什么？
当时，衡阳市下属衡南县原正、副县长还“组团”或者“创造条件”单独去到李亿龙家中送钱送物。
因为李的“霸蛮”，他家保姆的胆子也跟着一起大了起来。这位保姆不仅帮老板给李亿龙递材料，从中收取几十万元好处费，甚至还从别人给李的礼金中“抽成”。
2016年3月，李亿龙卸任衡阳市委书记，担任省农村工作领导小组副组长。4月8日，湖南省纪委网站发布消息，李亿龙涉嫌严重违纪，接受组织调查。
