精选的数学猜想：四十多年前的一个数学猜想终被破解

1973年，匈牙利数学家 László Fejes Tóth 在 Exploring a Planet 一文中提出了球带猜想（Zone Conjecture）。该猜想描述了如果一个单位球面被几个球带完全覆盖，它们的宽度总和至少为 π。四十多年年过去了，以色列理工学院（Technion）的中国数学家姜子麟和莫斯科物理技术学院（MIPT）的 Alexandr Polyanskii 终于证明了 Fejes Tóth 的猜想，其结果发表于GAFA数学杂志。他们的证明对于离散几何非常重要。

○ László Fejes Tóth 猜想。半径为1的单位球体被等宽的区域覆盖。所有区域的宽度总和的最小值是π。每个区域用不同颜色标记。

离散几何学（Discrete Geometry）研究的是点、线、圆、多边形和其他几何对象的组合性质。例如它会考虑如下问题：在一个球的周围，最多能摆放多少个相同尺寸的球在它周围？或者，在平面上，如何以最密集的方式排放相同大小的圆？又或者在空间中，如何放置最多数量的球？这类问题都需通过离散几何来解答。

事实上，此类问题的解决方案具有很大的实际应用价值。比如最密堆积问题有助于优化编码并纠正数据传输中的错误。又如著名的四色定理，它描述的是用四种颜色就足以绘制球面上的地图，使得图中任何相邻的两个区域都具有不同的颜色。它促使数学家引进了图论（Graph Theory）的重要概念，这对于许多近期在化学、生物和计算机科学以及逻辑系统上的发展都至关重要。

○ 四色定理的一个例子。

László Fejes Tóth 的区域猜想与离散几何中的一些其他问题也密切相关，这些问题已在20世纪就被解决，涉及到用条带覆盖表面。其中第一个就是所谓的木板问题（Plank Problem），涉及到用平行线组成的条带覆盖住圆盘。Alfred Tarski 和 Henryk Moese 用一个简洁的方式证明了用来覆盖圆面的条带（或木板）的宽度和至少等于圆的直径。也就是说，没有比用一个宽度与圆的直径相等的木板更好的方法用来覆盖圆盘。接着，Thger Bang 解决了用长条覆盖任意凸体的问题。也就是说，他证明了覆盖凸体的条带的总宽度至少是凸体本身的宽度，即单个能覆盖凸体的单个条带的最小宽度。

○ Tarski证明了，一个半径为1的单位圆不能被宽度和小于2（即圆的直径）的条带完全覆盖。图中每个条带都有自己的宽度和颜色。

姜子麟和 Alexandr Polyanskii 处理的问题有些不同，它涉及到用某类球带来覆盖一个单位球面。具体而言，每个球带都是球面与一个特定的三维板条的交集，其中板条是关于球心对称的夹在两个平行平面之间的空间区域。或者可以不用板条，而在球面测地线的度量空间里定义球带：一个在单位球表面的宽度为 ω 的球带，是距离大圆（球面上半径等于球体半径的圆弧）不超过 ±ω/2 的点的集合，测量点与点间距离的是连接它们的最短弧。数学家必须找到能覆盖单位球面的球带上的最小宽度和。因此，宽度测量方法不同于之前被解决的问题：它被定义为弧的长度，而不是平行线或面之间的欧几里德距离。

○ 在球体上一个宽度为ω的区域（黄）。

姜子麟和 Polyanskii 所作出的证明是受到了 Bang 的启发，Bang 通过构造一个有限点集解决了用条带覆盖凸体的问题，该有限点集必有一个点不被任何条带覆盖。从某种意义上来说，无论是 Bang 还是姜子麟和 Polyanskii 都是通过反证法来证明的。在 Fejes Tóth 猜想的情况下，数学家假设完全覆盖球体的球带的宽度和小于 π，并试图得到矛盾点——即找到一个位于球体上的点，但又不在任何这些球带里。

○ 完全覆盖球体的球带。五个区域中的每个区域都有其自己的宽度和颜色。

姜子麟和 Polyanskii 在三维空间中构造了一组特别的点集，使得至少一个点不在木板覆盖的区域内。如果这整个点集都位于球内部，那么在球面上找另一个没被木板覆盖、也就是没被球带覆盖的点是相对容易的事。如果集合中的任何点碰巧位于球体之外，则可以用一个较大的球带代替几个较小的球带，其宽度和与较大球带的宽度相等。因此，我们可以做到在不影响宽度和的前提下，减少初始问题中球带的数量。最终，球体上的某个点会被确定为不在这些球带内。这与球带总宽度小于 π 的假设背道而驰，因此证明了 Fejes Tóth 的猜想。

这个问题在高维空间中的推广也得到了解决，但姜子麟和 Polyanskii 表示，这与三维空间的情况并没有什么不同。

Polyanskii 说：“FejesTóth 的问题已经吸引了离散几何学领域的数学家们40多年的注意力。最终，这个问题能得到一个优美简洁的解决方案，是我们的幸运。Fejes Tóth 的问题促使我们去思考另一个关于球面覆盖的更基本的猜想，在这个猜想中，覆盖球面的球带无需中央对称。”

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以下是的一些我们精选的打拐行动：从打拐行动中被解救出来十多年，这些孩子始终没等来亲

晶报记者 林菲/文 刘宁宁/图

他们也许刚刚出生不久，也许刚刚学会走路；他们记不清亲人的模样，甚至不明白爸爸、妈妈的含义。

他们幸运地被警方从打拐行动中解救出来，盼了一天又一天，却始终没有亲人的消息。

——元旦过后，一个由央视新闻官微发起的，“帮687名被拐的孩子转发寻找亲人”的话题，在微信朋友圈里迅速发酵。当全社会都越来越关注被拐儿童时，这些被解救后的孩子，有多少回归了原生家庭呢？

记者从深圳福利中心了解到，建院以来，共有29名打拐解救儿童被送到福利院，至今只有9名儿童被亲人认领。如今，这里仍生活着7人。因为最初被拐地都是在深圳，他们的身份都是深圳孩子。

福利院的老师们正在哄孩子们午睡

1

十多年始终没等来亲人消息

扎着两个小鬏鬏，依着一只大熊，照片中的芳芳露出了甜甜的笑容。“很萌吧，她跟大多女生一样，喜欢零食，喜欢萌系的事物。这是明浩，个子高，很讨女孩子喜欢……”深圳社会福利中心社会福利院的社工督导岑老师，翻着微信朋友圈，向记者一一介绍着6名身份特殊的孩子。

十多年过去了，他们都长大了，很难和挂在全国打拐解救儿童寻亲公告平台上幼时的照片对应上。他们都是打拐解救出来的孩子，最早的1人被解救于2000年，其他5人均为2003年，被解救时，他们中最大的不超过5岁，而现在几乎都已成年。

十多年过去了，他们始终没有等来亲人的消息。

出生于1999年的芳芳，马上就要19岁了，被警方送到福利院时，只有2岁。但是她的记忆却是从一个“家庭”中开始的——她有“父母”，可是他们从未给她庆祝过一次生日，很少给她买零食，也不愿让她学习舞蹈、围棋。芳芳慢慢察觉到自己和同学们不太一样，却不敢对“父母”说。

直到6岁那年，芳芳才明白，原来自己并非“父母”的亲生女儿。这个家庭，只是福利院为她寻找的寄养家庭。后来，这个寄养家庭因为自身的原因，终止了与福利院的寄养协议，芳芳再次回到了福利院。

深圳福利中心儿童福利院内，墙上贴满了孩子们做的贴纸画

2

他们曾被寄养

但最终都回到福利院

作为打拐解救的孩子，芳芳被大多数遭父母遗弃而住进福利院的孩子羡慕，在他们看来，与弃婴相比，芳芳的父母在主观上没有要将她抛弃，也许在某一天，她的父母会找到她，把她带回家。可是，芳芳却觉得，自己还不如其他被遗弃的孩子，起码他们可以被领养，从此有一个新的家。

有一次，芳芳身边的一对弃婴小姐妹，被一对美国的夫妇收养，高兴地要她陪同一起去时任深圳市社会福利中心主任唐荣生的办公室辞行。由于福利院里孩子太多，唐荣生当时没认出芳芳是打拐解救的孩子，看到她默默地站在一旁，就安慰她说：“别急，叔叔很快也给你找个好人家。”当时芳芳只是淡淡地说：“我去不了，我是被打拐解救的。”尽管她心里多么希望有人愿意把自己当做他们的孩子一样疼爱，但她知道这不可能。

根据《收养法》的规定，公安机关打拐解救的孩子如果找不到亲生父母的，既不算孤儿，也不算弃婴和弃儿，不属于收养的范围。等到2015年《民政部公安部关于开展查找不到生父母的打拐解救儿童收养工作的通知》发布时，芳芳早已过了14周岁能被收养的年龄线。

在福利院，芳芳和5个女孩一起住在一间30平方米左右的房间里，一张床头桌，一张单人床，属于自己的空间并不多。芳芳的床头挂着一个捕梦网，笔筒里插着几根搭配汉服用的簪子，床上摆着一只小熊玩偶。这里是见证了她整个敏感又美丽的年少时光的家。

和芳芳情况相似，明浩、宇阳等几个在2003年被解救送进福利院的孩子，如今年龄都在17到20岁之间，他们也曾经历过寄养家庭、模拟家庭的生活，但最终，都重回了福利院。

福利院教室内，老师正在辅助同学们做手工

3

幸运的孩子有了新家

相比芳芳和明浩，今年5岁不到的深圳孩子文翔要幸运多了，因为他在去年进入了一个新的家庭，开始了新的人生。

“我们花了近半年时间，才给他找到了一个适合的家庭。”深圳社会福利中心儿童福利院负责送养工作的潘老师一说起文翔，脸上就浮现出笑容。

文翔是警方在2014年解救出来的孩子，送到福利院时只有1岁左右，健康可爱、活泼调皮，工作人员都很喜欢他。2017年，文翔一直没有等到亲生父母的消息，按照现有的政策，他早就可以被新的家庭领养，但是工作人员看着孩子无忧的笑脸，总是希望再等一等，也许他的父母很快就会出现，能和亲人团聚。

眼看着孩子长到了4岁，就要错过最佳的收养时机了，福利院的工作人员们明白，不能再等了。

当文翔见到第一户有领养意愿的家庭时，平时开朗的他突然变得很别扭，也没了笑容，对于陌生人的亲近，明显有着抗拒的心理。虽然文翔还小，不能很好地表达自己的意愿，但是工作人员马上就判断出这一户家庭不适合文翔。

第二户家庭与文翔见面时，却是完全相反的情况，文翔很愿意亲近两位大人，对方摸摸他的头，他会笑，跟他说话，他也愿意交流。这就是缘分。

文翔和新家庭的缘分，让他更好地融入了新生活。一系列手续办妥后，文翔在去年顺利地进入了新家庭。福利院在做定期电话回访的时候，总是源源不断地听到好消息：文翔特别自来熟，一见到新家庭的人，很快就能融洽相处，刚到新家一个月的时候，一大家子亲戚一起给他办了一个欢迎会，他收到了很多礼物，很开心。

福利院内，老师正带着小朋友们做游戏

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打拐解救的孩子DNA信息都入库

文翔是在《民政部公安部关于开展查找不到生父母的打拐解救儿童收养工作的通知》发布后，福利院按规定送养的第一个打拐解救儿童。但在他之前，福利院早已突破当时的收养制度樊篱，为12名打拐解救儿童找到了新家。

2013年，芳芳、明浩这一批打拐解救的孩子都进入了青春期，而在2009年打拐解救的女婴小洋和男婴小江也在福利中心长到了3岁半。按照中国人收养孩子的习惯，4周岁之前是最佳收养时机，4岁之后孩子开始记事，而养父母并不希望孩子记得自己身世，所以十多岁的孩子，已经很难被国内的家庭收养。眼看着芳芳这批孩子已经因年龄和现行政策被耽误了，福利中心决心突破现行法规政策的限制，为小洋和小江寻找一个“家”。

果然，像小洋和小江那样健康可爱的孩子，一旦放开收养，就不愁找不到“家”，如今，他们都在新的家庭生活得很好，两个孩子今年都上二年级了。

因为小洋和小江的特殊身份，当时收养他们的家庭对福利中心做了“承诺”：如果在一定期限内孩子的亲生父母找到了，他们愿意将孩子归还，但如果孩子希望留在收养家庭中，他们会尊重孩子的意愿。

事实证明，深圳福利中心的决定是非常具有预见性的。在2015年发布的《民政部公安部关于开展查找不到生父母的打拐解救儿童收养工作的通知》中规定，打拐解救儿童被送交社会福利机构或者救助保护机构之日起满12个月，公安机关未能查找到儿童生父母或其他护人的，对于符合收养条件的儿童，应当及时进行国内送养，使儿童能够尽快回归正常的家庭生活。

文翔被收养后，为了不对他的新生活和新身份造成影响，潘老师表示，他的信息很快将从全国打拐解救儿童寻亲公告平台上撤下来，但这不代表他的亲生父母就找不到他了。每个打拐解救的孩子在被警方送到福利院之前，都已经将DNA信息录入了全国打拐DNA数据库。

根据规定，打拐解救儿童被收养后，公安机关查找到其生父母或其他护人，或者其生父母或其他护人查找到该儿童的，如儿童的生父母或其他护人要求解除收养关系，且经公安机关确认该儿童确属于被盗抢、被拐骗或者走失的，收养人应当与社会福利机构共同到民政部门办理解除收养关系登记。儿童的生父母双方或者其他护人有出卖或者故意遗弃儿童行为的，应当依法追究法律责任，已成立的合法收养关系不受影响。

等待做游戏的孩子们

5

只有9名打拐解救

送来福利院的孩子被认领

早在2009年，公安部就正式建立“全国公安机关查找被拐卖、失踪儿童DNA数据库”，即俗称“全国打拐DNA数据库”。浩如烟海的DNA信息自动检索比对，重合的信息会自动跳出，这一过程叫“DNA盲比”。当这种信息检索比对成功，就可能意味着一个家庭会重获团圆。做DNA采血并录入全国打拐数据库，是目前寻找失散亲人相当有效的一种方法。

在此基础之上，为了帮助打拐解救的孩子早日回家，由民政部开发的全国打拐解救儿童寻亲公告平台也于2015年9月19日正式上线，已有687名打拐解救儿童信息录入该平台，如今网站的点击量达到了近1500万次。

当全社会都越来越关注被拐儿童时，这些被解救后的孩子，有多少回归了原生家庭呢？据国务院新闻办2016年中公布的数据来看，截至2015年，全国打拐DNA数据库已为4000多名失踪儿童找到亲生父母。但是记者从深圳福利中心了解到，从建院以来共有29名打拐解救儿童被送到福利院，至今只有9名儿童被亲人认领。在资料登记表上，最后一名被认领的孩子是2013年底被送到福利院的，直到2014年底才与家人团聚。

在余下的20名打拐解救儿童中，包括文翔在内的13名孩子被顺利收养，不管他们是否有一天会找到亲生父母，他们起码能在一个完整的家庭中成长起来；而一名刚刚被解救送入福利院仅半年的1岁多幼童，也许将盼来家人的团圆，也许跟文翔一样进入新的家庭；但是像芳芳这样的6名临近成年或已经成年的孩子，已不愿再谈寻亲之事。

记者手记

（向上滑动查看内容）

今年即将中专毕业的芳芳目前正在实习，她找了一份服务行业的工作，不但与同事相处愉快，还能挣到钱。但这不是她的目标，她今年打算和子义一起参加高考，她的目标是从事学前教育工作。子义从小吉他弹得好，还会作词作曲。作为今年同一届的考生，成然已经被保送到大专，继续学他喜欢的计算机专业，这个性格温和的大男生在学校人缘很好。

“他们几乎不会主动去提寻亲的事，而且非常不愿意被人知道自己的身世。”深圳社会福利中心社会福利院的陈老师感叹道。也许是多年的等待让他们失去了信心，而由于身份特殊和当时政策原因，他们又只能眼巴巴地看着身边的小伙伴被陆续收养，从懵懵懂懂到敏感沉默，小时候，他们还会问工作人员，“我的爸爸妈妈是谁？为什么不来接我？”现在，他们已不想谈及自己的身世，并拒绝了记者的采访。“那孩子说，已经十几年了，太折腾了，感觉没什么希望。”陈老师向记者转达了这样的回复。

多年来，这些孩子多次被媒体关注，但始终没有家人的消息。也许每一次希望被浇灭时的煎熬，都给他们的内心带来不为人知的伤害。在社工督导岑老师看来，孩子们心底对家庭、对亲人的渴望从未被抹去，但更令人欣喜的是他们愿意向前看，积极乐观地去追求梦想，或许在不久的将来，他们会组建起自己的家庭。

（注：文中芳芳等打拐解救儿童皆为化名）

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以下是的一些我们精选的参与拆违：15岁参与拆违行动被打伤

原标题：15岁学生参与拆违行动被打伤

楚天都市报讯 楚天都市报记者陈咏

近日，汉川市民王先生向楚天都市报反映，其15岁的孙子参与汉川市政府组织的“拆迁“行动，被拆迁户打伤住院。记者采访得知，王先生孙子参与的是9月29日汉川市仙女山街道办在七里村进行的拆违行动。行动中拆违人员与被拆户发生冲突，多人受伤。

目前，伤人者因涉嫌故意伤害被逮捕。昨日，汉川市政府回应称，当日现场人员由拆迁公司组织。

拆违发生冲突多人受伤

2013年9月，汉川市启动七里村城中村改造项目。经过两年多的工作，部分房屋顺利拆迁，但有部分房屋被政府认定为违建，而村民不予认可，导致迟迟未能拆除，张义家就是其中一户。

在多次做工作未果后，仙女山办事处报请市府同意，于9月29日上午开展集中拆违行动，主要拆除包括张义家在内的6栋违法建筑。

目击者介绍，当日拆违人员着统一制服，有一百多人。

拆违人员来到张义家，张义和部分村民向对方扔汽油瓶、砖头，多名拆违人员被砸伤，现场一片混乱。

经过了近半天的冲突与协商，拆违人员退出张义家。

一名伤者为15岁在校生

王先生的孙子王明（化名）是伤者之一，被送往汉川市人民医院。昨日记者从医院了解到，王明左侧额、顶部硬膜下有血块、蛛网膜下腔出血、左侧顶骨凹陷性骨折。

据家属介绍，15岁的王明就读于汉川市中等职业技术学校。9月28日，他和多名同学被人带走，参加第二天七里村的拆违行动，“每人每天可以得到50到100元的报酬”。该校约50名学生参与了这一行动。

据悉，事发当日，共有4名拆违人员受伤，其中两人被鉴定为“重伤二级”，除王明外，另一人右眼外伤性晶体破裂，目前在省人民医院救治。

市政府称拆违人员由拆迁公司组织

10月14日，张义被警方带走，并于第二天被刑事拘留，27日，因涉嫌故意伤害罪被依法逮捕。昨日，汉川市政府相关负责人介绍，在获悉七里村即将改造后，从2006年上半年至2010年9月，七里村部分村民抢建违法建筑多达226栋。经过多年的工作，仍有部分村民对违法建筑索要高额补偿款，拒绝拆除。9月29日的行动就是在这一背景下开展的。张义的房屋建于2006年，未取得相关审批手续。昨日，记者在汉川城管局了解到，该局先后四次采取下达限期拆除通知书、上门通知等方式，要求张义拆除违法建筑。

为何有学生参与拆违？汉川市政府回应称，七里村的拆迁由仙女山办事处委托有资质的专业公司具体实施，事发当日的拆违人员由该公司组织。