精选的切割线定理： 切割线定理及其应用之二
在上一讲中我们讲解了切割线定理的三个应用，今天继续,为了统一起见，本文例题和参考文献序号接着第一讲:
例4、如上图，AB、AC为圆的切线，B、C为切点；DI、DH为圆的切线，I、H为切点；
求证：若点D在BC直线上，则点A在HI直线上。（配极原则）
思路分析：欲证明IHA共线，基本思路是同一法，即证明角相等即可。
下面需要分析图形的基本性质，切线模型的基本思路是连接圆心OA,
如下图所示，则OI^2=OF*OD= OG*OA，故DFGA 共圆，
则∠DFA=∠DGA=90°即得。
证明：如图，设圆心为O，OA、交BC、HI于G、F，
由①中切割线定理得OI^2=OC^2=OF*OD= OG*OA ，则DFGA 四点共圆，
故∠DFA=∠DGA=90°=∠DFH，
则点A在HI直线上。
注：1) 本结论称为配极原则，可以对称的叙述为：D的切点弦过A当且仅当A的切点弦过D，或D的极线过A的充要条件为A的极线过D。是射影几何中极点极线相关的核心结论。
而且对所有的二次曲线都成立。结论很对称，非常漂亮，很有”我中有你、你中有我”的感觉。
后面在写极线专题的时候会详细展示其应用。
2)上述纯几何证明是比较简单明了的，当然还可以有其他的纯几何证明思路，不过基本应该大同小异。当然本题更本质的证明是用解析法，也非常简洁明了，而且解析法可以对所有的圆锥曲线一网打尽，有兴趣的读者可以参考相关资料[4][5]。
例5、已知：如图，△ABC外接圆在B、C处的切线交于E，D为BC中点。
求证：∠BAD=∠CAE
思路分析：本题结论很美，直觉上两个角相去甚远，全等、相似好像都没有。只能先挖掘图形的基本性质，如下图，连接OE势在必行，ODE共线。G为南极点，则∠BAG=∠CAG；
从而欲证∠BAD=∠CAE，需证∠GAD=∠GAE；又∠OGA=∠GAO，
故需证∠OAD=∠OEA，这显然是切割线定理。
证明：设圆心为O，由对称性知ODE共线，且经过BC弧中点G。
显然OA^2=OB^2=OD*OE,
由①得∠OAD=∠OEA,
即∠OAG-∠DAG =∠DGA-∠GAE,
又∠DGA =∠OAG，故∠GAD=∠GAE,
又∠BAG=∠CAG，故∠BAD=∠CAE。
注：1）本结论很经典而且漂亮，证法很多，基本有上十种吧，当然本证法几乎是最直接而简洁的。
2）本结论是等角线的性质，本质上和反演有关，所以本结论还能推广为：如下图，若D在BC中垂线上且OB^2=OD*OE即有∠BAD=∠CAE，证明类似；
例6、如上图，锐角三角形 ABC 的外心为 O，K 是边 BC 上一点（不是边 BC 的中点），D 是线段AK延长线上一点，直线BD与AC交于点N，直线CD与AB交于点M．
求证：若OK⊥MN，则 A，B，D，C 四点共圆．
（2010年全国高中数学联赛二试第一题）
思路分析：本题题目比较刁钻。如果不熟悉完全四边形及极点极线很难做出来。但是熟悉完全四边形的读者，想到完全四边形对角线互相调和分割，由垂直不难得到角平分线，从而由前面多次提到的ASS及切割线定理得到ABDC共圆即可。
注：1）本结论本质上也是完全四边形的调和性质，是圆内接完全四边形的极点极线中的结论，其逆命题为：若ABCD共圆O，则O为△GND的垂心（即OGND构成垂心组）。一般称为麦克劳林定理或者雅克比系统，是非常经典而神奇的结论，在[6]中都已经熟知。经典的证明是用定差幂线证明。
2）本题在当年的难度非常高，国内做对的学生屈指可数。官方提供的参考答案采用反证法，思路与其逆命题的方法如出一辙，但是对此系统不熟悉的人非常难理解，很多人都反映看不懂答案。
3）本人经过思考，对此题得到了两种类似的直接证明，证法一是用密克点倒共圆，有兴趣的读者可以参考文[6]。上述解答是利用切割线定理。在思考的过程中虽然用了不少较高的观点，但是在书写解答的时候还是希望绕开极点极线，所以在书写的解答中没有出现太高深的字眼。当然要真正深入的理解还是需要掌握完全四边形的相关性质的，有兴趣的读者可以参考文[7]。
例7、已知：如上图所示，C为两圆H、I交点，AB为两圆公切线，A、B为切点。
AP⊥BC且P在HI上；
求证：AC⊥PC （2010中国国家队选拔考试试题）
思路分析：本题虽然图形简单而常见，
但是却不好入手，主要是如何利用条件。
当然还是要挖掘图形的基本性质。如下图，
显然CF平分AB，作出直径AJ也比较合理，
因为欲证AC⊥PC只需证明JPC共线。
由AP⊥BC得∠PAH=∠KBC。
由AHLK共圆得∠PHA=∠CKB，
则△AHP△BKC,
则H、K为相似对应点，则
JPC共线,
从而得证。
证明：如图，设AJ为圆H的直径，两圆交于C、F，FC交AB、HI于K、L，
故KA=KB。
由AP⊥BC及切线得∠HAP=90°- ∠PAB=∠ABD，
又显然AHLK共圆，则∠BKC=∠AHP，
则△BKC∽△AHP；
又H为AJ中点，K为AB中点，故J、A为相似对应点，
则∠AJC=∠BAC=∠AJP，
故JPC共线，即AC⊥PC；
注：本题像一个小家碧玉，浑然天成。值得仔细欣赏、品味。证明似乎不难，但是要对相似和相交两圆的公切线有深刻的理解和认识。
参考文献
4、《高等几何》 梅向明等 1988年 高等教育出版社
5、《交比.调和点列.阿波罗尼斯圆.极线极点》 金磊 中等数学 2011年第3期
6、《近代欧氏几何》 单墫 译 1999年 上海教育出版社
7、《一般的完全四边形的性质及应用》金磊 中等数学 2017年第11期
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以下是的一些我们精选的香港特首是谁：香港特首顾问陈智思：与暴徒切割 香港才有未来
原标题：林郑月娥首席顾问陈智思：与暴徒切割，香港才有未来
昨天是香港开学日，部分学校上演罢课闹剧，但五星红旗照常在黄楚标学校等中小学升起。昨天，记者走进中环大厦，专访港区全国人大代表、特区政府行政会议非官守议员召集人、香港金融家陈智思。
陈智思
行政会议是特区政府协助特首决策的最高级机构。作为行政会议非官守议员（非全职官员，主要为社会各界专家）召集人的陈智思被外界认为是林郑月娥最重要的智囊之一。他参与了大量特首的决策过程，对当下的局势有深入的见解。今年四月他接受英国广播公司（BBC）采访时，机智、强硬回击主持人刁难的视频，不久前突然“爆红”网络，他笑言出乎意料。
视频-林郑月娥首席顾问陈智思：与暴徒切割 香港才有未来
要让暴徒付出相应代价
对近两周来连续发生的黑衣人“暴动”，陈智思认为暴徒们的所作所为显然超出了“反修例”的最初诉求。他们喊的口号可能他们自己都不明白意味着什么，不仅不切实际，而且完全失去理性。
破坏公共设施
陈智思说香港警队在制止暴乱的行动中体现了很强的专业性也展示了很大的克制。但社会上仍有人指责他们使用暴力。难道他们没看见警察自卫或还击，都是因为暴徒攻击在先吗？在其他地方，暴徒这样的行为警察早就开了。
陈智思强调香港社会必须与这些暴徒切割，暴徒“港独”等极端诉求决不能代表绝大部分香港人的意志，也不符合香港人的利益。香港社会不能跟着这一小撮人走。陈智思认为香港警察必须要让暴徒明白，使用暴力就要付出相应的代价，你搞破坏，你就要去坐牢。
暴徒向警方投掷自制汽油弹
据陈智思介绍，特区政府一直在考虑搭建平台与黑衣人在内的青年和社会各界对话，而且这样的对话不会仅一次。针对黑衣人声称特首为何不愿公开对话，陈智思说，据他所知真正不愿意公开对话的恰恰是黑衣蒙面人。他曾通过自己的渠道与两个激进青年群体联系，但他们都拒绝了公开对话的邀约，原因是他们害怕自己的形象曝光，担心遭到网络报复。还有黑衣人表示愿意公开对话，但前提是特首要答应他们的“全部诉求”。陈智思说，设置这样的前提其实就是拒绝对话。陈智思透露，其实过去几个月，包括最近两周，特首都有与激进分子对话，但对方不希望公开。
是谁把香港推向危险边缘？
视频-港区全国人大代表接受BBC采访 被主持人屡次打断
陈智思对西方媒体片面、歪曲报道香港十分不满。他本人今年4月接受BBC访问，结果听了几分钟就觉得情况不对，对方明显带有偏见在采访他，于是他打断对方的提问，清晰坚定阐明香港问题真相，捍卫“一国两制”基本原则。虽然令BBC主播大失所望，但在爱港爱国阵营中收获热烈掌声。最近有几家美国媒体要采访他，陈智思在考虑要不要接受。他觉得接受他们的采访说什么都不重要，因为他们已经预设了立场。
陈智思也对岛内的舆论生态十分失望。一些媒体完全失去了客观立场，虚假报道，制造恐慌。陈智思说，这些媒体的做法，在一些国家可能会被视作煽动暴乱。以言论自由作幌子为所欲为，在全世界都不会被允许。
“黑衣人”堵塞香港国际机场致机场瘫痪
对一些反对派、媒体号称香港的民主和自由正遭到压制，陈智思反问：如果香港没有自由，会容许你们这些媒体造谣滋事吗？堵塞机场、每个周末搞打砸，在西方国家恐怕一天都不行。
陈智思说，如果局势恶化，中央政府可以合法出手平息暴乱。但走到那一步，无论中央还是香港都不希望看到的。香港的问题最好香港人自己来解决。但现在的情况很危险，暴徒的行为越来越激烈，感觉在逼迫警察开。如果真的开，可能导致香港陷入更大的混乱。绝大部分香港人当然不希望看到香港沉沦，那么又是谁在背后指使这些暴徒呢？谁想挑战中央底线意图制造更大的事件呢？陈智思不排除当前的暴乱有外国势力插手其中。
期盼港人奋起力挽狂澜
8月23日，香港尖沙咀附近的商店张贴打折信息以吸引顾客。新华社
陈认为暴力示威严重影响了香港的社会秩序、经济景气和国际形象。特别是之前香港机场停摆两天，影响巨大。香港现在看得见的经济损失主要是旅游业，8月份的数据会比7月更惨。但一些香港人认为这样的损失可以承受，但他们不知道更大的危机已经在路上，到时后悔也来不及。陈智思说，香港的暴乱不仅吓退观光客，还影响到大量商务旅客。他自己公司最近开董事会，两个日本保险业的董事因为日本发赴港旅行警示没来开会。但与此同时，反对派竟然在10个国家13家报纸登极不负责任的广告，抹黑香港。
他说9月10月是很多国际企业安排明年预算的时间，很多人问他明年的情况会如何。如果国际企业对香港失去信心，他们就会做出调整，把生意分配到别处。所以陈智思说暴乱继续持续，对香港经济的破坏将非常严重，全港人都要承担损失。
采访最后，陈智思呼吁全体港人集体抵制暴乱，维护社会稳定。暴乱一天不停止，一切问题的解决都无从谈起。
新民眼工作室
作者 | 新民晚报香港报道组
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以下是的一些我们精选的香港女孩讲述被暴徒性侵经历：次次都是不同的人
视频-16岁香港女孩讲述被暴徒性侵经历：次次都是不同的人
原标题：16岁香港女孩讲述被暴徒性侵经历：次次都是不同的人……
丧尽天良！
“有年轻女孩被他人误导，为男暴徒提供免费性服务。”香港特别行政区行政会议成员罗范椒芬四天前曾透露这样一则让人难以置信的消息。（详见“14岁香港少女被性侵”是真的，罗范椒芬再次确认）今日（13日）中午，社交媒体上曝出另一段疑似“香港年轻女孩讲述被暴徒性侵经历”的视频，视频中一位年轻女孩通过自己的亲身经历，似乎从另一侧面印证“男暴徒诱导、性侵年轻女孩”的不齿事实。↓
视频中，一名年轻女孩头戴白色鸭舌帽，身穿白色T恤，背对镜头，声音做了变声处理。她说：“我今年16岁了。这件事在心里面已经半个月了，但是我一直都不敢讲，直到这两日看到有一个14岁的女孩子说‘自己有了宝宝、要去堕胎’，我才知道：原来有好多人都和我一样。”
女孩表示，自己“被一些朋友拉进去参加集会。他们和我讲‘要做其他人没做过的事、很厉害的事’”。
女孩在视频中坦言，在犹豫再三加入“他们”（暴徒）后，她起初也“很害怕”。“我不敢大声叫，人真的很多，（我）经常被人夹到，但是慢慢感觉到后面会被人用身体挡住……之后，我发现每次都有人在背后挡住我，有时还会抱着我，（我）觉得很有‘安全感’。”女孩说。
在视频中，年轻女孩还讲述了自己第一次被“性侵”的经历：“那天散了之后，都（晚上）十一点多了，我准备回家，他要了我电话，说下次一起出来玩。他说会来接我，接下来整个过程，就和网上那个女孩子的经历差不多。”
女孩表示，“他”带自己认识了一班香港高校的学长，“我们一起吃饭一起喝酒。他说‘我们女孩子就应该用身体安慰他们’”。
令人咂舌的是，女孩在视频中还透露自己曾遭多人性侵：“次次都是不同的人，有时一晚试过有连续3个人”。女孩在视频中控诉说：“他们对我们越来越暴力，有时直接拉我进房间，我不愿意，他们就这样刮我（耳光），还要和其他人一起……我好痛，但他们根本、一点都不care我……”
更为可怕的是，女孩还直言“看到有人讲他们有人有艾滋（病）”，表示自己“这几日有去做检查，但还不知道结果。现在好害怕”。
在视频的最后，女孩说出了自己为何今天站出来讲被性侵经历的原因：“在那之前（听到）议员（罗范椒芬）采访，我觉得好不安心，原来有好多人经历和我一样。”
“我现在将我的经历讲出来，希望这件事不要再发生，都要保护好你们自己。”女孩说。
“有年轻女孩被他人误导为男暴徒提供免费性服务”，9日上午，罗范椒芬在参加香港电台英文台节目“Backchat”时，首次爆料出这则让人难以置信的消息。当天下午，罗范椒芬在回复环球时报-环球网记者问询时，再次强调此事为真，她表示，她的一位值得信赖的朋友认识受害者，而且受害者只有14岁。
罗范椒芬称，自己讲述这段经历的目的是想告诉女孩们要警惕不要受骗。因为初相识的暴徒男女都会约会、喝酒、吸食大麻，容易出事。她还说，虽然“上当受骗你情我愿”，但因为被害者未成年，所以事件已经构成了犯罪。她也说，“当然可以理解的是，受害女孩和她的家长都不愿意报警”。但罗范椒芬称，自己也希望借此警告其他的年轻女孩不要以身犯险。
罗范椒芬参加香港电台英文台节目“Backchat”。
几日后的今天，社交媒体传出的这段视频，再次印证这一令人不齿的事。环球网记者查询发布上述爆料视频的推特账号发现，这个名为“深海鱼”的账户于今年8月注册，至今只发了两条推文。
“深海鱼”在13日凌晨0时38分发布的第一条推文中介绍说：“之前不玩推特，这次为了讲出我的经历，特地建了这个账号。”
而在下午2时09分发出的最新推文中，“深海鱼”表示：“我已经报了警，希望警察可以处理这班人渣。”
