精选的罗素悖论： 何谓罗素悖论？

罗素悖论（Russell""""s paradox），也称为理发师悖论，是罗素于1901年提出的悖论，一个关于类的内涵问题。罗素悖论当时的提出，造成了第三次数学危机。

“理发师悖论”的悖论内容一位理发师说：“我只帮所有不自己刮脸的人刮脸。”那么理发师是否给自己刮脸呢？如果他给的话，但按照他的话，他就不该给自己刮脸，因为他“只”帮不自己刮脸的人刮脸；如果他不给的话，但按照他的话，他就该给自己刮脸，因为他是“所有”不自己刮脸的人，包含了理发师本人，于是矛盾出现了。“书目悖论”的悖论内容书目悖论与理发师悖论基本一致。可以说是罗素悖论的另一种通俗表达形式。内容是：一个图书馆要编纂一本书，其内容是列出该图书馆里所有不列出自己书名的书的名字。那么作为目录的书该不该列出自己的书名？

罗素悖论：

我们通常希望：任给一个性质，满足该性质的所有类可以组成一个类。但这样的企图将导致悖论：

设命题函数P(x)表示“x?x”，现假设由性质P确定了一个类A——也就是说“A={x|x?x}”。那么现在的问题是：A∈A是否成立？首先，若A∈A，则A是A的元素，那么A具有性质P，由命题函数P知A?A；其次，若A?A，也就是说A具有性质P，而A是由所有具有性质P的类组成的，所以A∈A。

罗素悖论在类的理论中通过内涵公理而得到解决。

内涵公理：一个类的所有元素所共同具有的、而且是这个类的元素所独有的性质(也就是说不是该类的元素就不具有该性质)通俗地称为该类的内涵。类的内涵与外延之间存在着直观的“反比关系”：“类的内涵越多，其外延越小；内涵越少，其外延越大”。

内涵公理的含义是：满足一定性质的所有集合可以组成一个类。